Сумма корней квадратного уравнения связана с его коэффициентами через простую математическую зависимость, известную как теорема Виета. Это соотношение позволяет находить сумму корней без непосредственного решения уравнения.
Содержание
Общий вид квадратного уравнения
Квадратное уравнение в общем виде записывается как:
ax² + bx + c = 0
где:
- a - коэффициент при x² (a ≠ 0)
- b - коэффициент при x
- c - свободный член
Теорема Виета для суммы корней
Если x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения, то их сумма равна:
x₁ + x₂ = -b/a
| Пример уравнения | Коэффициенты | Сумма корней |
| x² - 5x + 6 = 0 | a=1, b=-5 | -(-5)/1 = 5 |
| 2x² + 8x - 10 = 0 | a=2, b=8 | -8/2 = -4 |
Доказательство теоремы
Для уравнения ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ можно записать разложение:
a(x - x₁)(x - x₂) = 0
Раскрывая скобки, получаем:
ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ = 0
Сравнивая с исходным уравнением, видим:
- -a(x₁ + x₂) = b ⇒ x₁ + x₂ = -b/a
- ax₁x₂ = c ⇒ x₁x₂ = c/a
Практическое применение
Знание суммы корней полезно для:
- Проверки правильности найденных корней
- Составления уравнений по известным корням
- Решение задач без нахождения самих корней
- Анализа свойств квадратичных функций
Особые случаи
| Случай | Сумма корней |
| Приведенное уравнение (a=1) | -b |
| Уравнение без линейного члена (b=0) | 0 |
| Один корень (D=0) | -b/a (оба корня равны) |
Пример решения задачи
Дано: Один из корней уравнения x² - 9x + 20 = 0 равен 4. Найти второй корень.
Решение:
- По теореме Виета: x₁ + x₂ = 9
- 4 + x₂ = 9
- x₂ = 9 - 4 = 5
Заключение
Теорема Виета устанавливает простую связь между коэффициентами квадратного уравнения и суммой его корней. Это мощный инструмент, который значительно упрощает работу с квадратными уравнениями и позволяет решать многие задачи без трудоемких вычислений.
